이 포스팅은 w. rudin 선생님의 Real and Complex Analysis의 내용을 바탕으로 쓰여진 내용입니다. 포스팅에 등장하는 정리의 넘버링은 이 교재의 넘버링을 따라갑니다.
수식이 제대로 표시되지 않는다면 페이지를 새로고침 해주세요!
르벡적분을 정의하기 위한 빌드업을 계속해보자.
극한 함수(Limit functions)
상극한(Upper limit)과 하극한(Lower limit)
rca에서는 pma에서의 상극한의 정의와는 사뭇 다르게 정의한다. 물론 두가지 정의 모두 동치이니, pma에서의 정의도 한번 찾아보시는걸 추천한다.
Definition.
\(\{a_n\}\)이 \([-\infty,\infty]\)의 수열이다.
$$b_n=\sup\;\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}\quad(k=1,\;2,\;3,\;\ldots)$$
$$\beta=\inf\;\{b_1,b_2,b_3,\;\ldots\}$$
라고 정의하자. \(\beta\)를 수열 \(\{a_n\}\)의 상극한(upper limit)이라고 하고, 다음과 같이 적는다 :
$$\beta=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n.$$
\(\{b_n\}\)이 단조 감소하는 수열이므로, \(b_k\rightarrow\beta\;\text{as}\;k\rightarrow\infty\)임이 쉽게 확인된다.
추가로, pma의 정의와도 동치이다. 즉, 적당한 \(\{a_n\}\)의 부분수열 \(\{a_{n_i}\}\)가 존재해서, \(a_{n_i}\rightarrow\beta\;\text{as}\;i\rightarrow\infty\)이고, \(\beta\)는 이러한 성질을 만족하는 가장 큰 수이다. 즉, 부분극한(Subsequential limits)들의 상한이다.
하극한(lower limit)도 비슷하게 정의된다.
당연히, 수열 \(\{a_n\}\)가 수렴하면 다음이 성립한다.
$$\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n.$$
수열의 극한이 존재하지 않을 수는 있지만, 확장된 실수 범위 내에서 수열의 상극한과 하극한은 항상 존재한다.
이러한 상극한과 하극한을 이용하여 함수를 정의할수 있다.
함수열과 상극한함수, 하극한 함수
\(\{f_n\}\)를 \(X\)위의 확장된 실함수열 (sequence of extended-real functions)이라고하자. 상한, 하한과 상극한, 하극한의 개념을 이용하여 \(X\)위에서 함수 \(\displaystyle\sup_n f_n\)과 \(\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty} f_n\)를 다음과 같이 정의한다.
Definition.
$$\left(\sup_n f_n\right)(x)=\sup_n\;(f_n(x)),$$
$$\left(\limsup_{n\rightarrow\infty} f_n\right)(x)=\limsup_{n\rightarrow\infty} (f_n(x)).$$
만약, 극한함수
$$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)$$
가 모든 \(x\in X\)에 대해 존재한다면, \(f\)를 함수열 \(\{f_n\}\)의 점별극한(pointwise limit)이라고 한다.
상한함수와 상극한 함수의 가측성
함수열 \(\{f_n\}\)가 모든 자연수 \(n\)에 대해서 가측이면, 함수열에 대응되는 상한함수와 상극한함수도 가측이라는 추측은 상당히 말이 된다. 만약 아니라면.. 좀 기분이 나쁠것이다. 다행히도, 이 추측은 참이다.
Theorem 1.14
\(f_n:X\rightarrow [-\infty,\infty]\)가 모든 자연수 \(n\)에 대하여 가측이고,
$$g=\sup_{n\ge 1}f_n,\quad h=\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n$$
이면, \(g\)와 \(h\)는 가측함수이다.
Proof.
\(g\)가 실함수니까.. 가측성을 판단하기 위한 강력한 criterion이 하나 있지 않았나? Theorem 1.12의 3번 성질을 사용하자.
(기억이 나지 않는다면, 이전 포스팅을 참고하세요)
독자들은 \(g^{-1}((\alpha,\infty])=\bigcup_{n=1}^\infty f_n^{-1}((\alpha,\infty])\)임을 확인해보자. 각 \(n\)에 대해 합집합 안의 집합들이 \(f\)가 가측이므로 가측집합이 된다. 합집합이 가산 합집합이므로, \(g^{-1}((\alpha,\infty])\)는 가측집합이 된다. 따라서, Theorem 1.12의 3번성질에 의해 \(g\)는 가측이다.
비슷하게, 함수열에 대응되는 하한함수도 가측임을 보일 수 있고..
(이 과정은 합집합이 아니라 교집합이 튀어나옴)
정의에 따르면
$$h=\inf_{k\ge 1}\left\{\mathop{\smash{\mathrm{sup}}}_{i\ge k} f_i\right\}$$
이므로, \(h\)는 가측이다.
Corollaries
- 모든 점별수렴하는 복소가측함수열의 점별극한함수는 가측함수이다.
- \(f\)와 \(g\)가 가측이면(이때, 치역은 \([-\infty,\infty]\)안에 있음) \(\max\;\{f,\;g\}\)와 \(\min\;\{f,\;g\}\)도 가측이다. 특히, 다음 함수들은 가측이다.
$$f^+=\max\;\{f,0\}\quad\text{and}\quad f^-=\min\;\{f,0\}.$$
표준적으로, 확장된 실함수 \(f\)는 \(f=f^+ -f^-\)로 표현되고, 절댓값은 \(|f|=f^+ +f^-\)을 만족한다.
다음 성질은 자명하다..
$$\text{만약 }f=g-h,\;g\ge 0,\;h\ge 0\text{라면 } f^+\le g,\;f^-\le h\text{이다.}$$
단순 함수(Simple Functions)
단순 함수의 정의
위상공간 \(X\)위의 단순함수는 간단하게 말하면, 치역이 유한집합인 복소함수를 말한다!
양의 단순함수(nonnegative simple functions)는 치역이 유한집합인 유계 함수이다.
만약 \(\alpha_1,\;\ldots,\;\alpha_n\)가 단순 함수 \(s\)의 서로 다른 값들이고, \(A_i=\{x:s(x)=\alpha_i\}\)라면, 당연히
$$s=\sum_{i=1}^n \alpha_i\chi_{A_i}$$
꼴로 표현된다. 따라서 단순함수 \(s\)가 가측함수일 필요충분조건은 모든 \(A_i\)가 가측집합인 것이다.
가측양함수를 단순함수로 근사하기
다음 정리는 임의의 \(f:X\rightarrow[0,\infty]\)가 가측이면, \(f\)를 적당한 가측 단순함수열 \(\{s_n\}\)의 극한함수로 볼수 있음을 보여준다.
Theorem 1.17
\(f:X\rightarrow[0,\infty]\)가 가측함수이면, 다음을 만족하는 \(X\)위의 가측 단순함수열 \(\{s_n\}\)이 존재한다.
- \(0\le s_1\le s_2\le\dots\le f\),
- 임의의 \(x\in X\)에 대하여, \(s_n(x)\rightarrow f(x)\;\text{as}\;n\rightarrow\infty\) 이다.
Proof.
증명의 모티베이션 자체는 리만적분에서 임의의 양함수를 step function으로 근사하는 것과 유사하다.
(아래의 gif를 보면, 뭔 말인지 와닿을겁니다)
먼저, 수열 \(\delta_n=2^{-n}\)을 정해놓자.
(특별한 의미는 없다. 그냥 0으로 수렴하는 수열이면 충분함.. 여담이지만 루딘 선생님은 0으로 수렴하는 수열중에 \(2^{-n}\)를 굉장히굉장히 좋아하시는 것 같음.. 급수가 1로 수렴해서 그런가)
임의의 자연수 \(n\)과 와 실수 \(t\)에 대해 \(k=k_n(t)=\lfloor t\cdot\delta_n\rfloor\)이라 하고 다음과 같은 함수 \(\varphi_n\)를 정의하자.
$$\varphi_n(t)=\begin{cases}k_n(t)\delta_n(t) & \quad\text{if}\;0\le t<n\\ n & \quad\text{if}\;n\le t\le \infty\end{cases}$$
그러면 각 \(\varphi_n\)는 \([0,\infty]\)위의 보렐 사상이다.
(당연함. open set의 역상이 항상 [a,b)과 (a,b)꼴의 가산 합집합일거임..)
또한 임의의 \(t\in[0,\infty]\)에 대해, 다음의 사실들도 성립한다 :
$$t-\delta_n\le\varphi_n(t)\le t\quad\text{if}\;0\le t<n,$$
$$0\le\varphi_1\le\varphi_2\le\cdots\le t$$
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n(t)=t$$
따라서, 다음 함수
$$s_n=\varphi_n\circ f$$
는 주어진 조건을 만족하는 단순함수열이다.
다음 포스트에선 드디어, 측도를 정의한다.
읽어주셔서 감사합니다.
'실-복소 해석학' 카테고리의 다른 글
| [실해석학] #3. 양측도와 양함수의 적분(Positive measures and Integration of Positive Functions) (0) | 2025.05.10 |
|---|---|
| [실해석학] #1. 시그마 대수(σ-algebra) 와 가측함수(Measurable Functions) (0) | 2025.05.03 |
| [실해석학] #0. 실-복소해석학 개요 (0) | 2025.05.02 |
