이 포스팅은 w. rudin 선생님의 Real and Complex Analysis의 내용을 바탕으로 쓰여진 내용입니다. 포스팅에 등장하는 정리의 넘버링은 이 교재의 넘버링을 따라갑니다.
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서론
리만적분을 대체할 르벡적분을 본격적으로 정의해볼건데, 이 르벡 적분을 정의 하기 위해선 먼저 '측도' 라는 것을 정의해야한다. 이 측도라는 개념을 왜 정의해야 되나? 여기서는 그에 대한 답을 조금이나마 해보고자 한다.
르벡 적분의 아이디어.
르벡적분을 인터넷에서 찾아보면 이런 비유가 있는 듯 하다.
리만적분은 x축을 기준으로 자르는 적분, 르벡적분은 y축을 기준으로 자르는 적분이다!
아주 틀린말은 아니긴 하다. 리만적분은 다음 형태의 finite sumnation으로 근사할수 있다.
$$\sum_{i=1}^n f(t_i)m(E_i)$$
이때, 각 \(E_i\)들은 disjoint set들이고 \(m(X)\)는 set function으로, 집합을 입력으로 받으면 집합의 '길이'를 툭 하고 뱉는 함수이다. \(t_i\)는 집합 \(E_i\)의 적당한 원소다. 근데 집합의 길이가 뭘까? 르벡 적분은 이 집합의 길이라는 개념을 측도라는 개념으로 정의하고 이 측도를 이용해 적분을 정의한다. 대충 거칠게 말하면 \(f\)의 치역의 원소 \(x\)에 대해, 집합 \(f^{-1}(\{x\})\)들의 길이와 함숫값 \(f(x)\)을 곱한 값들을 다 더하는 식으로 정의한다. (안엄밀함) 그래서 \(y\)축을 기준으로 자른다는 소리가 나온 듯..하다... 뭐 어찌됐든, 우리는 이제 집합의 길이를 잘 부여하기 위해서 측도를 정의할수 밖에 없다.
잴 수 있는 집합.
시그마 대수
아쉽게도, 모든 집합의 길이를 잘 줄수는 없다.
이에 관련된 내용은 추후 chapter 2에서 다룸. 더 흥미로운 내용은 바나흐-타르츠키 역설 참조.
따라서, 길이를 잘 줄 수 있는 집합들의 모음을 따로 정의해줘야하는데, 이를 위해 시그마 대수라는 것을 정의한다.
Definition. 시그마 대수
집합 \(X\)위의 \(\sigma\)-algebra \(\mathfrak{M}\)은 다음을 만족하는 \(X\)의 부분집합들의 집합족이다.
- \(X \in \mathfrak{M}\)
- \(E\in\mathfrak{M}\;\Longrightarrow\,E^c\in\mathfrak{M}\)
- \(\{E_i\}\)가 \(\mathfrak{M}\)의 countable collection이면, \(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i\in\mathfrak{M}\)
특히, 집합 \(X\)위의 \(\sigma\)-algebra \(\mathfrak{M}\)가 존재하면, \(X\)를 가측공간(Measurable space)이라고 하고, \(\mathfrak{M}\)안의 집합들을 가측집합(Measurable set) 이라고 한다.
\(X\)가 가측공간이고, \(Y\)가 위상공간, \(f:X\rightarrow Y\)에 대해, 만약 임의의 \(Y\)의 open set \(V\)에 대해, \(f^{-1}(V)\)가 가측집합이면, \(f\)를 가측함수(Measurable function)라고 한다.
뭔가 굉장히 집합 \(X\)위의 위상 \(\mathcal{T}\)의 정의와 비슷해보인다..
2번 성질에 의해 당연히 공집합과 가측집합들의 가산교집합도 가측집합이 된다. 공집합도 가측이므로 3번 성질의 특정 n이상의 집합들을 공집합으로 정하면, 당연히 가측집합들의 유한 합집합과 유한 교집합도 가측집합이다.
그런데, 잴 수 있는 집합, 즉 가측 집합은 왜 저렇게 정의될까?
가측집합은 왜 그렇게 생겼나.
먼저, 전체집합 \(X\)가 가측이어야 하는건.. 찾아보니까 확률론에서 전체집합을 잴 수 있는 집합으로 정의해야 확률이 잘 정의된다나.. 이것까진 잘 모르겠다. 나머지 성질은 어디서 나온걸까?
쉬운 예시를 들기 위해 실수집합에서의 측도를 우리가 아는 '길이' 개념과 호환되게끔 어떻게 잘 정의했다고 치자. (후에 배우겠지만 이 측도를 르벡측도라고 함) 직관적으로, 유한개의 길이를 가지는 집합들의 합집합의 길이는 잘 정의될것 같지 않은가? 3번은 가산합집합의 길이도, 결국은 무한 급수를 통해 잘 정의할 수 있으니까 가산까지 확장한거다.
2번성질은.. 전체집합이 가측이므로 여집합의 길이는 당연히 전체집합의 길이에서 그 집합의 길이를 빼면 될테니까..
가측함수는 왜 그렇게 생겼는데?
이 섹션은 순전히 저의 추측입니다.
르벡적분이 리만적분을 자연스럽게 일반화 해야하는건 당연하다. 따라서 이번 섹션에서, 함수 \(f\)는 실함수라고 가정하겠다.
아까 전의 리만적분 논의에서, 다음과 같이 말한 것 기억할까?
\(f\)의 치역의 원소 \(x\)에 대해, 집합 \(f^{-1}(\{x\})\)들의 길이와...
눈치 빠른 사람들은 이미 알아 차렸을지도 모르겠다. 이 말은 곧 집합 \(f^{-1}(\{x\})\)가 가측집합이라는거 아니야?? 리만적분은 metric space인 실수위에서 정의되고, metric space 에서는 singleton 이 closed set이니까.. open set과 closed set의 쌍대성을 생각해보면.. 사실 모든 open set \(V\)에 대해 \(f^{-1}(V)\)가 가측집합임과 동치네? 근데 대부분의 수학자들이 closed set보단 open set들을 이용해 정의하는것을 좋아하므로 (왜인진 모르겠다.. Munkres 피셜임) 이렇게 정의한건가..? 하는 의심을 해본다.
가측함수에 관한 초보적인 성질들을 한번 살펴보자.
가측함수들의 성질들
Theorem 1.7
\(Y\), \(Z\)가 위상공간이고, \(g:Y\rightarrow Z\)가 연속이다.
- 만약 \(X\)가 위상공간이고, \(f:X\rightarrow Y\)가 연속, \(h=g\circ f\)이면 함수 \(h:X\rightarrow Z\)도 연속이다.
- 만약 \(X\)가 가측공간이고, \(f:X\rightarrow Y\)가 가측, \(h=g\circ f\)이면 함수 \(h:X\rightarrow Z\)도 가측이다.
Proof.
\(V\)가 \(Z\)에서 open이면 \(g\)가 연속이니까 \(g^{-1}(V)\)는 open in \(Y\)이고, \(h^{-1}(V)=f^{-1}(g^{-1}(V))\)임을 이용하면..
\(f\)가 연속이면 \(h^{-1}(V)\)는 open이 됨. 1번 증명 끝
\(f\)가 가측이면 \(h^{-1}(V)\)는 가측임. 2번 증명 끝.
다음 정리의 증명은 위상수학의 초보적인 지식이 요구될수도..있음...
Theorem 1.8.
\(u\), \(v\)가 가측공간 \(X\)위의 가측실함수이고, \(\Phi\)를 plane에서 위상공간 \(Y\)로 가는 연속사상이라고 하자. 임의의 \(x\in X\)에 대해,
$$h(x)=\Phi(u(x),v(x))$$
라고 정의하자. 그러면 \(h:X\rightarrow Y\)는 가측이다.
Proof.
보조함수 \(f(x)=(u(x),v(x))\)를 잡자. 그러면 \(f\)는 \(X\)에서 plane으로 가는 사상인데.. \(h=\Phi\circ f\)임을 염두에 두면, Theorem 1.7을 사용하여, \(f\)의 가측성만 판단하면 끝나겠다! (\(\Phi\)가 연속이므로)
\(R\)을 plane위의 각 변이 축에 평행한 임의의 open rectangle이라고 하자. \(R\)은 당연히 적당한 open segments \(I_1\)과 \(I_2\)의 곱집합이 될거고 (Cartesian product)
$$f^{-1}(R)=u^{-1}(I_1)\cap v^{-1}(I_2)$$
인데, 우변이 가측집합 두개의 교집합이므로 가측집합이 된다! 근데 위상수학에 의하면 임의의 plane 위의 열린집합 \(V\)은 이러한 \(R_i\)들의 가산 합집합으로 표현가능하다. (저 형태의 rectangle들이 \(\mathbf{R}^2\)의 countable basis를 이룬다..) 이제, 다음에 의해서 \(f^{-1}(V)\)는 가측집합이 되고 따라서 \(f\)는 가측함수이다.
$$f^{-1}(V)=f^{-1}\left(\bigcup_{i=1}^\infty R_i\right)=\bigcup_{i=1}^\infty f^{-1}(R_i).$$
이 두 정리들을 이용하면 다음 따름정리들을 얻을 수 있다.
(\(\mathbf{C}\)를 \(\mathbf{R}^2\)로 자연스럽게 identify함으로써 얻을수 있는 것 다수 존재함.)
\(X\)가 가측공간일때,
- \(f=u+iv\), \(u,\,v\)가 \(X\)위의 가측실함수이면 \(f\)는 \(X\)위의 가측복소함수가 된다.
- \(f=u+iv\)가 \(X\)위의 가측복소함수면, \(u,\,v\)와 \(|f|\)는 \(X\)위의 가측실함수가 된다.
- \(f,\; g\)가 \(X\)위의 가측복소함수면, \(f+g\)랑 \(fg\)도 \(X\)위의 가측복소함수이다.
- \(E\)가 \(X\)위의 가측집합이고, $$\chi_E(x)=\begin{cases}1&\text{if}\;x\in E\\ 0 & \text{if}\;x\notin E\end{cases}$$이면, \(\chi_E\)는 가측함수이다.
- \(f\)가 \(X\)위의 가측복소함수라면, \(|\alpha|=1\)이고, \(f=\alpha|f|\)를 만족하는 적당한 \(X\)위의 가측복소함수 \(\alpha\)가 존재한다.
각 번호에 관한 증명들은..
1번의 경우는 \(\mathbf{C}\)를 \(\mathbf{R}^2\)로 자연스럽게 identify한 후, \(\Phi(z)=z\)으로 정의하면 Theorem 1.8을 통해 얻을 수 있고,
2번의 경우는 Theorem 1.7을 적용할 건데 \(g(z)=\mathrm{Re}\;(z),\;\mathrm{Im}\;(z),\;|z|\)를 각각 적용하면 얻을수 있다.
3번은 \(f,\,g\)가 가측실함수라면, Theorem 1.8을 이용해, $$\Phi(s,t)=s+t$$로 잡으면 덧셈에 대해서는 증명 끝. 비슷하게 $$\Phi(s,t)=st$$로 잡으면 곱셈에 대해서도 증명이 완료된다. 이제, 1번과 2번에 의하면 복소함수일 경우도 증명 됨.
4번의 경우는 자명하다. 이 형태의 함수를 \(E\)의 특성함수(characteristic function)라고 부른다.
5번의 증명은 스스로 시도해 볼만하다. 아마 증명을 적을때 매끄럽게 다듬을 만한 부분은 \(\alpha\)를 가측이 되게 잘 정의해야한다는 점일듯. 증명을 러프하게 스케치해보면..
$$\alpha(x)=\begin{cases}c & \text{if}\;f(x)=0\\ f(x)/|f(x)| & \text{if}\; f(x)\neq 0\end{cases}$$
라고 한다음에.. \(\alpha\)가 가측이 되게끔 잘 조절해주면 되겠다. 근데 함숫값 자체가 \(f(x)=0\)이냐 아니냐로 갈리지 않나? 가측집합의 특성함수는 항상 가측이니까.. 연속함수에 가측함수를 합성하면 가측함수가 됨을 이용하면 더 쉽지 않을까?
(Theorem 1.7을 이용하자는 뜻)
\(E=\{x:f(x)=0\}\)이라고 하고, \(Y\)를 원점을 지운 복소평면이라고 하자. 임의의 \(z\in Y\)에 대해, \(\varphi(z)=z/|z|\)라고 정의하자.
$$\alpha(x)=\varphi(f(x)+\chi_E(x))\quad(x\in X).$$
라고 하자. 만약, \(x\in E\)라면, \(\alpha(x)=\varphi(0+1)=1\)이고, \(x\notin E\)라면, \(\alpha(x)=\varphi(f(x)+0)=f(x)/|f(x)|\)가 된다. \(\varphi\)는 \(Y\)에서 연속이다. \(E\)가 가측집합임은
$$E=\bigcap_{n=1}^\infty f^{-1}((-1/n,1/n))$$
인데, \(f\)가 가측함수이므로, 교집합되는 집합들은 가측집합이고, 교집합이 가산 교집합이므로 \(E\)는 가측집합이 되시겠다. 따라서 Theorem 1.7에 의하면, \(\alpha\)는 가측함수이다.
시그마대수 생성하기
선형대수학을 열심히 공부하신 분들은 임의의 선형독립 집합 \(\mathcal{F}\)을 이용해 \(\mathcal{F}\)를 부분집합으로 갖는 가장 작은 벡터공간을 만들어 본 기억이 있을것이다. 이 벡터공간을 \(\mathcal{F}\)에 의해 생성된 벡터공간이라고 하지 않나?
시그마대수에서도 비슷한 내용이 있다. 가측집합 \(X\)의 부분집합들을 원소로 갖는 집합족 \(\mathcal{F}\)을 포함하는 가장 작은 시그마 대수 \(\mathfrak{M}^*\)를 \(\mathcal{F}\)에 의해 생성된 시그마 대수라고한다.
다음 정리는 임의의 \(X\)의 부분집합 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(\mathcal{F}\)에 의해 생성된 시그마 대수가 항상 존재함을 보여준다!
Theorem 1.10
만약, \(\mathcal{F}\)가 \(X\)의 부분집합들을 원소로 갖는 임의의 집합족일 때, 항상 \(\mathcal{F}\subset\mathfrak{M}^*\)를 만족하는 \(X\)위의 가장 작은 \(\sigma\)-algebra \(\mathfrak{M}^*\)가 존재한다.
Proof.
\(\Omega\)를 \(\mathcal{F}\)를 포함하는 모든 시그마대수들의 집합족이라고 하자. \(X\)는 이 조건을 항상 만족하므로, \(\Omega\)는 공집합이 아니다. 따라서
$$\mathfrak{M}^*=\bigcap_{\mathfrak{M}\in\Omega}\mathfrak{M}$$
은 잘 정의된다. 이렇게 정의된 \(\mathfrak{M}^*\)가 실제로 시그마 대수라면 조건을 만족하게 된다.
임의의 시그마 대수는 항상 \(X\)를 원소로 가지므로, \(X\in\mathfrak{M}^*\)은 자명하고..
모든 자연수 \(n\)에 대해, \(A_n\in\mathfrak{M}^*\)라면.. 임의의 \(\mathfrak{M}\in\Omega\)에 대해, \(A_n\in\mathfrak{M}\)일테고, 이 \(\mathfrak{M}\)도 시그마 대수니까, \(\bigcup_n A_n\in\mathfrak{M}\)가 된다. \(\mathfrak{M}\)이 \(\Omega\)에서 택해진 임의의 시그마 대수이므로, \(\bigcup_n A_n\in\mathfrak{M}^*\)이겠다.
\(E\in\mathfrak{M}^*\)이면 \(E^c\in\mathfrak{M}^*\)임도 비슷하게 보일 수 있다.
보렐 집합
Theorem 1.10의 내용을 이용하여, 특별한 시그마 대수를 하나 만들어 보겠다. \(X\)가 위상공간이고, \(\mathcal{T}\)가 \(X\)위의 위상이라고 하면, \(\mathcal{T}\)에 의해 생성된 시그마 대수 \(\mathscr{R}\)을 생각할 수 있다. 이 시그마대수의 원소들을 보렐집합이라고 한다.
당연히, 정의에 의하면 임의의 닫힌집합은 보렐집합이다. 닫힌집합은 열린집합의 여집합이기 때문.
따라서, 닫힌집합과 열린집합들의 (섞여도 됨) 가산 교집합, 가산 합집합은 모두 보렐집합이 된다.
특히, 닫힌집합들의 가산 합집합들을 \(F_{\sigma}\), 열린집합들의 가산 교집합들을 \(G_{\delta}\)이라고 한다. 예를 들어보면.. \([a,b)\)는 \(F_{\sigma}\)이면서 \(G_{\delta}\)이다. 왜냐하면..
$$[a,b)=\bigcup_{n=1}^\infty [a,b-1/n]=\bigcap_{n=1}^\infty (a-1/n, b)$$
이기 때문이다.
이제, \(X\)위에 이 시그마 대수 \(\mathscr{R}\)을 주면 \(X\)를 가측공간으로 볼 수 있고, 보렐집합들은 가측집합이 된다.
만약, \(f:X\rightarrow Y\)가 \(X\)위의 연속사상이고, \(Y\)는 임의의 위상공간일 때, 정의에 의해 임의의 \(Y\)의 열린집합 \(V\)에 대해, \(f^{-1}(V)\in\mathscr{R}\)이 된다. 즉, 모든 \(X\)의 연속함수는 보렐 가측(Borel measurable)이다.
보렐 가측인 함수들을 때때로 보렐 사상(Borel mappings), 혹은 보렐 함수(Borel functions)라고 부른다.
자투리 정리들
이제, 가측공간과 가측함수에 관한 유용한 정리 몇가지를 소개한다.
Theorem 1.12
\(\mathfrak{M}\)은 \(X\)위의 시그마 대수이고, \(Y\)는 위상공간이다. \(f\)를 \(X\)에서 \(Y\)로의 사상이라고 하자.
- 만약, \(\Omega\)가 \(f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}\)인 모든 \(E\subset Y\)의 집합족이면, \(\Omega\)는 \(Y\)위의 시그마 대수이다.
- 만약 \(f\)가 가측이고, \(E\)가 \(Y\)의 보렐집합이면, \(f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}\)이다.
- 만약, \(Y=[-\infty,\infty]\)이고 모든 실수 \(\alpha\)에 대하여, \(f^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}\)이라면 \(f\)는 가측이다.
- 만약 \(f\)가 가측이고, \(Z\)가 위상공간이며, \(g:Y\rightarrow Z\)가 보렐사상이고, \(h=g\circ f\)이면, \(h:X\rightarrow Z\)는 가측이다.
Proof.
1번의 statement는 \(X\)의 시그마 대수와 \(X\)에서 \(Y\)로의 사상 \(f\)를 통해 자연스럽게 \(Y\)위의 시그마 대수를 만드는 방법에 대해 설명한다.어쨋든 증명을 시작해보자.$$f^{-1}(Y)=X\in\mathfrak{M}$$이므로 \(Y\in\Omega\)이다.마찬가지로, $$f^{-1}(Y-A)=f^{-1}(Y)-f^{-1}(A)=X-f^{-1}(A)$$이므로 시그마 대수의 2번 공리가 성립한다.마지막으로, $$f^{-1}(A_1\cup A_2\cup A_3\cup\dots)=f^{-1}(A_1\cup f^{-1}(A_2)\cup f^{-1}(A_3)\cup\dots$$에서 3번 공리도 성립. 따라서 \(\Omega\)는 \(Y\)의 시그마 대수다.
2번은, 추가적으로 \(f\)가 가측임이 가정되면, 임의의 \(Y\)의 보렐 집합 \(E\)는 \(\Omega\)의 원소가 됨을 시사한다. 1번처럼 \(\Omega\)를 정의하자. \(f\)가 가측이므로, 임의의 \(Y\)의 open set \(V\)에 대해, \(f^{-1}(V)\in\mathfrak{M}\)이다. 따라서 보렐 집합도 \(\Omega\)의 원소다... 1번이 증명 되면 너무나 자명한 명제.
3번은 실함수가 가측인지 아닌지 판단하기 편하게 해주는 유용한 criterion이다. \(\Omega\)를 또 1번처럼 정의하고, (\(Y=[-\infty,\infty]\)임을 잊지말자.)임의의 실수 \(\alpha\)를 선택하자. 이제, \(\alpha_n\rightarrow\alpha\;\text{as}\;n\rightarrow\infty\)이고, \(\alpha_n<\alpha\)인 수열을 생각해보면..
$$[-\infty,\alpha)=\bigcup_{n=1}^{\infty} [-\infty, \alpha_n]=\bigcup_{n=1}^{\infty} (\alpha_n,\infty]^c$$이므로 \([-\infty,\alpha)\in\Omega\)이다. (\(\Omega\)가 1번에 의해 시그마 대수임을 잊지말자.)당연히, $$(\alpha,\beta)=[-\infty,\beta)\cap (\alpha,\infty]$$이므로 \((\alpha,\beta)\in\Omega\)이고, 임의의 \(Y\)의 open set은 이 세가지 집합들의 가산 합집합이다. 따라서 임의의 \(Y\)의 열린집합은 \(\Omega\)의 원소이다. 즉, \(f\)는 가측집합.
4번은 Theorem 1.7의 일반화이다. 이 정리에 따르면, \(g\)가 연속함수가 아니어도, 보렐함수이기만 하면 \(h=g\circ f\)가 가측함수임을 보장한다. \(V\subset Z\)가 open이면, \(g^{-1}(V)\)는 \(Y\)의 보렐집합이고, \(f\)가 가측이므로 2번 성질에 의해, \(f^{-1}(g^{-1}(V))\)는 가측이다.
이번 포스팅은 여기서 마치는게 좋겠다. 다음 포스팅에서는 르벡적분을 정의하는데 사용되는 상극한과 하극한의 개념과 이를 통해 정의되는 함수들, 그리고 르베그 적분을 정의하기 쉬운 간단한 형태의 함수들에 대해 다루겠다.
읽어주셔서 감사합니다.
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