교재
학부 4학년 즈음에 배우는 실해석학의 내용을 정리해보고자 합니다. 기본적으로 측도와 르베그 적분 위주로 전개되는 것 같은데.. 공부해보면서 더 다루는 내용이 있을지는 모르겠네요. 공부 및 정리에 사용될 주 교재로는 Walter Rudin 선생님의 Real and Complex Analysis를 활용하겠습니다. 기본적으로 실, 복소 해석학 내용을 전부 커버하는 책이기에, 실해석뿐만 아니라 복소해석학의 내용 또한 한번에 정리되겠네요.
부교재로는 역시 w. rudin선생님이 쓴 해석개론 책 Principles of Mathematical Analysis를 붙잡으면 좋겠네요.
무엇을 배우는가?
해석개론에서
학부 2학년때 배우는 해석개론과 여기서 다루는 실해석학의 내용이 무엇이 다를까요? 2학년 따리 해석개론의 내용은 초점 자체가 1학년때 배운 미적분학의 개념들을 어떻게 엄밀하게 정의하고, 또 미적분학에서의 정리들을 어떻게 이 "엄밀하게" 정의된 언어들을 이용하여 엄밀하게 증명하느냐부터 시작해서 결국 최종적인 목표로는 뭐.. 균등수렴으로 끝맺음하는 스토리라인을 가집니다. 적분에서 극한을 교환할 수 있느냐가 big event라고 할수 있겠네요.
실해석학에서는?
이 주제가 실해석학까지 이어져서.. \(\mathcal{C}[a,b]\)를 구간 \([a,b]\)에서 연속인 유계 함수공간이라고 하고, 리만적분을 통해 이 함수공간에 다음의 distance를 정의해봅시다.
$$d(f,g)=\int_a^b|f(x)-g(x)|\;dx$$
이를 통해 \(\mathcal{C}[a,b]\)을 metric space로 만들고 싶은데, 이 metric space가 complete space였으면 좋지 않을까요? 그런데.. distance function이 리만적분을 통해 정의 되었으므로, 함수열의 극한을 따질때, 잘 호환되려면 함수열의 균등연속성을 따져야하는 매우매우 번거로운 문제가 발생합니다. 결과적으로 이렇게 리만적분을 통해 정의한 함수공간은 complete space가 되는데 실패하게 되고.. 사실 함수열의 균등연속성을 따지는 과정들 자체도 매우 번거롭고 괴로운 (비록 그게 쉬울지라도) 과정이라는 거죠. 따라서 실해석학의 첫 주제는 "극한과 잘 호환되는 새로운 적분을 정의해 볼까?" 가 됩니다. 실제로 Lebesgue의 적분이 이 목표를 매우 충실히 이행하였고, 실해석학에서는 Lebesgue의 적분을 배우게 됩니다.
르벡적분(Lesbegue's Integration)
이 르벡 적분을 정의하는 기본적인 아이디어는 먼저 간단한 형태의 함수 \(s\)(simple function라고 불리는 녀석들)에 대해 정의를 먼저하고 임의의 양함수 \(f\)에 대한 적분은 \(f\)보다 작거나 같은 simple function \(s\)에 대한 르벡적분의 상한으로 정의해버리면 사실상 모든 실함수에 대해 르벡적분이 잘 정의되고... 사실상 simple function에서만 르벡적분을 잘 정의하기만 하면 됩니다. 이 simple function에 대해 르벡적분을 정의하는 방법은 추후에 다루도록 하고..
그 이후에는 실제로 르벡적분을 통해 정의된 거리를 준 함수공간이 실제로 완비공간임을 보이고, \(L^p\)-norm에 관한 부등식가지고 놀거나.. \(C_c(X)\)의 \(L^p\)-completion이 \(L^p(\mu)\)임을 보이거나.. 그런걸 하는 것 같습니다. complex function을 \(C_c(X)\)의 함수로 Approximate하는 거나... 앞으론 뭘 다룰지 감은 안잡히는 것 같습니다. 목차 보니까 여러가지 함수공간들을 다루는것 같긴한데..
학부 1학년 마치고, 군대에서 공부하는 거라, 오류나 미흡한 사항이 있을 수 있습니다. 지적사항이 있다면 자유롭게 댓글로 남겨주시면 감사하겠습니다.
서론이 길었습니다. 한번 공부하면서 정리해 보겠습니다!
p.s 기회가 된다면 나중에 해석개론의 내용도 정리해보고자 합니다. 일단은 실 복소 해석학 연재하다가.. 여유되면..
